Ünye Gücü Futbol Kulübü'nde futbola başlayan ve yakaladığı başarılarla önce Ünye 1957 Spor ardından Beşiktaş'ın dikkatini çekerek Siyah-Beyazlı ekibin altyapısına transfer olan Mehmet Tuğra Yeşilyurt, beklediği profesyonel kontratı aldı. Beşiktaş'ta gelişimi dikkatlice takip edilen ve altyaş milli takımlarında da forma giymeye devam eden 2007 Ordu doğumlu file bekçisi Mehmet Tuğra Yeşilyurt, Beşiktaş ile profesyonel sözleşmeye imza attı.
Ünye Gücü Futbol Kulübü'nde futbola başlayan kariyerinde kısa bir süre Ünye 1957 Spor ardından Beşiktaş'ın altyapısına transfer olan Mehmet Tuğra Yeşilyurt hakkında siyah-beyazlı kulüpten yapılan açıklamada, "Kulübümüz, gelişimini 2019-20 sezonundan bu yana Beşiktaş Futbol Akademi’de sürdüren genç futbolcumuz Mehmet Tuğra Yeşilyurt’la 2026-27 sezonu sonuna kadar profesyonel sözleşme imzaladı. Sahip olduğu potansiyel ve yetenekle kulübümüze önemli hizmetlerde bulunacağına inandığımız Mehmet Tuğra Yeşilyurt’a yeni dönemde üstün başarılar dileriz." denildi.
Kariyerinde kısa bir süre Ünye 1957 Spor forması da giyen Mehmet Tuğra Yeşilyurt, bu sezon U19 Elit A Ligi'nde Beşiktaş U19 takımının formasını giyiyor.
